球

开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。

1.定义

到球心 $O$ 的距离等于 $R$ 定值的点的集合

2.性质

任意截面 $\alpha$ 截球会得到一个圆，且圆心$O'$与球心$O$的连线$\bot \alpha$ (空间垂径定理)

证明：作 $OO' \perp\alpha$ 于 $O'$

取 $\forall A \in \alpha$ 使得 球$O \cap \alpha = A$

则有$AO = R$

$\therefore AO' = \sqrt{R^2 -(OO')^2}$ 为定值

$\therefore A$ 在 $\alpha$平面 上以 $O'$ 为圆心，$AO'$ 为半径的$\odot O'$上

得证

$$\star \ \ R^2 = r^2 + d^2$$

3.球周角

取球上三点 $A、B、C$，称 $\angle BAC$ 为球周角

特殊性质：直径所对的球周角为 $\ 90 ^\circ$

证明：$A、B、C$ 三点确定 $平面ABC$

$\because 平面 ABC \cap 球O = \odot O$

$AB 为 \odot O 直径$

$\therefore \angle BCA = 90^\circ$

4.球的内接棱柱（棱柱的外接球）

①

$$A_1A_1 \cdots A_n - B_1 B_2\cdots B_n 有外接球 \\ \Updownarrow \\ \begin{cases} Ⅰ：n边形A_1A_2\cdots A_n \ 有外接圆 \\ Ⅱ：该棱柱为直棱柱 \\ (侧面四点共圆 \Rightarrow 侧面为矩形 \Rightarrow 直棱柱) \end{cases}$$

②

$$O点为上下圆心连线中点$$

③

$$R^2 = r^2 + (\frac{1}{2}OO')^2$$