KaTeX渲染测试

来源：Volantis魔改教程 - DearXuan的主页(https://blog.dearxuan.com/2023/01/07/Volantis魔改教程/#katex公式渲染通用)

设函数$f(x,y)$的全微分为$df(x,y)=(2ax+by)dx+(2by+ax)dy$,($a$,$b$为常数),且$f(0,0)=-3,f_{x}^{'}(1,1)=3$,求$f(x,y)$

本题给的是全微分,但是可以看成两个偏微分,并且较为基础,所以放在第一题

$$\frac{∂f}{∂x}=2ax+by,\frac{∂f}{∂y}=2by+ax$$

直接对两个偏微分求不定积分,可以得到原函数.注意对x积分时,将y看作常数,因此最后的$+C$实际上应该写作$+g(y)$

$$f(x,y)=ax^{2}+bxy+g(y)=by^{2}+axy+h(x)$$

显然两者是同一个函数,因此对应的项的系数也相同,即$a=b$,对x求偏导,得到$f_{x}^{'}(1,1)=2a+b=3$,故$f(x,y)=x^2+xy+y^2-3$

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$$解: 设需要二氧化碳质量为x\\ \because CO_2 + Ca(OH)_2 = CaCO_3 \downarrow + H_2O \\$$